数列的基本思想是将一列数与自然数之间建立一一对应关系，数列的通项an实质上是一个定义域为自然数集N(或N的有限子集)。

等差数列和等比数列是两种最基本的数列。等差数列的五个基本量a1, d , n , an ,Sn 或等比数列的五个基本量a1, q , n , an ，Sn中任意给出三个量，必能求出另外的两个量。同时，等差数列和等比数列的项与项数之间、项与项之间存在着微妙的内在联系，灵活运用数列内部存在的这种内在联系，可以使解决某些数列问题的过程得到简化，起到事半功倍的作用。

　　一，如果a1 ,a2, a3 ,a4 ,……an , ……是等差数列，其公差为d ，则有

（1）a1 +an = a2 +an-1 = a3 +an-2= ……

(2 ) a2 = a1 +d , ,a4 = a3 + d , …… a2n = a2n-1 +d ,……

利用关系式（1）、(2 )可以巧妙地解决类似下列的一系列问题：

例 1，已知{ an }是等差数列，且a1 +a2+ a3 = - 21 ，a18 + a19 + a20 =78 ,求{ an }的前20项之和。

分析：若用常规方法，可以根据条件先求出a1和d ，再用等差数列前n项和公式可以求出{ an }的前20项之和，这种方法运算比较复杂；若利用关系式（1），将已知条件进行适当地转化，则可以简捷地求出结果：

∵S20 = a1 +a2+ a3 + ……+ a18 + a19 + a20

=( a1+ a20) + (a2+ a19) +( a3 + a18) + ……+(a10 + a11)

由关系式（1）知： a1+ a20 = a2+ a19 = a3 + a18= ……=a10 + a11

∴S20 = 10 ( a1+ a20)

由a1 +a2+ a3 = - 21 ，a18 + a19 + a20 =78 ( a1+ a20) + (a2+ a19) +( a3 + a18)=57 3( a1+ a20)=57 a1+ a20 =19

于是S20 = 10×19=190

例 2，已知{ an }是等差数列，它的前100项之和=200，公差d = 2，求a1 + a3 + a5……+ a99的值。

分析：若用常规方法，可以根据条件先求出a1，∵a1 , a3 , a5, …… , a99是公差为2×2=4的等差数列，用等差数列前n项和公式可以a1 + a3 + a5……+ a99的值, 但是运算比较复杂；若利用关系式(2) ，则可以简捷地求出结果：

∵a1 +a2+ a3 + ……+ a100 =200 ，

∴(a1 + a3 + a5……+ a99) +( a2+ a4 + a6……+ a100)=200

(a1 + a3 + a5……+ a99) +[(a1 +d) +( a3 + d) +( a5 + d) +……+( a99+d)] = 200

(a1 + a3 + a5……+ a99) +[(a1 + a3 + a5 + a99)+50d ] = 200

2(a1 + a3 + a5……+ a99) +50d = 200

将d = 2 代入，就可以得到a1 + a3 + a5……+ a99 = 50

二，如果a1 ,a2, a3 ,a4 ,……an , ……是等比数列，其公比为q，则有

（3）a1 an = a2 an-1 = a3 an-2= ……

(4 ) a2 = a1 q , a4 = a3 q , …… a2n = a2n-1q ,……

利用关系式（3）、(4 )可以巧妙地解决类似下列的一系列问题：

例 3，已知{ an }是等比数列 , 且a2a9 + a4a7 = 20 , 求{ an }的前10项之积。

分析：若用常规方法，根据条件无法求出a1和公比q ，应用关系式（3）可以简捷地求出结果：

∵a2a9 + a4a7 = 20 ，a2a9 =a4a7

∴ 2 a2a9 =20 a2a9 = 10

从而a1 a2 a3 a4 ……a10 =（ a1 a10）（ a2 a9 ）……（a5 a6）=（ a1 a10）5 =105

例 4，，已知{ an }是等比数列，公比q = 2且a1 +a3+……+ a9= 100 ，求{ an }的前10项之和.

分析：若用常规方法，可以根据条件先求出a1，再用等比数列前n项和公式可以求出{ an }的前10项之和，这种方法运算比较复杂；若应用关系式（4）,可以简捷地求出结果：

S10 = a1 +a2+ a3 + ……+ a10

=( a1 +a3+ a5 + ……+ a9 )+(a2 +a4+ a6+ ……+ a10)

=( a1 +a3+ a5 + ……+ a9 )+(a1q +a3 q + a5q+ ……+ a9q)

=( a1 +a3+ a5 + ……+ a9 )+q(a1 +a3 q+ a5+ ……+ a9)

=(1+q)( a1 +a3+ a5 + ……+ a9 )

=(1+2) ×100

=300

三 ， 当数列{ an }既不是等差数列，也不是等比数列时，要求{ an }的通项公式，可以先证明{ an＋p }（ p为常数）或{an+1 - an}成等差数列或等比数列，根据成等差数列或等比数列的通项公式，先求出an＋p或an+1 - an ，再通过推理求出an ，能够使运算得到简化。

例 5，在数列{ an }中，已知a1=2 ，且an+1 ＝ an＋3，求an

分析：{ an }既不是等差数列，也不是等比数列时，先证明{ an＋p }（ p为常数）成等差数列或等比数列。

由an+1 ＝ an＋3两边同时减去6　　 　　　　　an+1－6 ＝ an－3　　　 　　　an+1－3 ＝ （an－6），即（an+1－6）／（an－6）＝

∴｛an－6｝是公比q = 的等比数列，其首项＝a1－6＝2－6＝－4

于是｛an－6｝的通项an－6＝（－4）（ ）n-1

从而an＝（－4）（ ）n-1 ＋6

例 6 ，在数列{ an }中，已知a1=5 ，且an+1= an+2n , 求a100

分析：{ an }既不是等差数列，也不是等比数列, 先证明{an+1 - an}成等差数列或等比数列。

由an+1= an+2n an+1 - an =2n an+1 - an =2+（n – 1）×2

∴{an+1 - an}是首项＝2 ，公差 = 2的等差数列，

{an+1 - an}的前99项的和=99×2 + ×2 = 9900

即（a2 – a1）+（ a3 – a2）+ ……+（a100 – a99）= 9900

a100 – a1 = 9900 , a100 = 9900 + a1

已知a1 = 5 于是a100 = 9900 + 5 = 9905

以上是根据等差数列和等比数列的项与项数之间、项与项之间存在的内在联系，对解决一些数列问题的方法的探讨，实际上，等差数列和等比数列的项与项数之间、项与项之间还存在更广泛的内在联系，有待于我们进一步探寻，通过探寻这些内在联系，可以提高解决数列问题的能力。

作者 云南省楚雄市职业高级中学数学一级教师 电话15912932906