谈解决数列问题的技巧

作者:王磊 日期:2015/11/20 来源:本站原创 点击:10914 

数列的基本思想是将一列数与自然数之间建立一一对应关系,数列的通项an实质上是一个定义域为自然数集N(或N的有限子集)。

等差数列和等比数列是两种最基本的数列。等差数列的五个基本量a1, d , n , an ,Sn 或等比数列的五个基本量a1, q , n , an ,Sn中任意给出三个量,必能求出另外的两个量。同时,等差数列和等比数列的项与项数之间、项与项之间存在着微妙的内在联系,灵活运用数列内部存在的这种内在联系,可以使解决某些数列问题的过程得到简化,起到事半功倍的作用。

  一,如果a1 ,a2, a3 ,a4 ,……an , ……是等差数列,其公差为d ,则有

(1)a1 +an = a2 +an-1 = a3 +an-2= ……

(2 ) a2 = a1 +d , ,a4 = a3 + d , …… a2n = a2n-1 +d ,……

利用关系式(1)、(2 )可以巧妙地解决类似下列的一系列问题:

例 1,已知{ an }是等差数列,且a1 +a2+ a3 = - 21 ,a18 + a19 + a20 =78 ,求{ an }的前20项之和。

分析:若用常规方法,可以根据条件先求出a1和d ,再用等差数列前n项和公式可以求出{ an }的前20项之和,这种方法运算比较复杂;若利用关系式(1),将已知条件进行适当地转化,则可以简捷地求出结果:

∵S20 = a1 +a2+ a3 + ……+ a18 + a19 + a20

=( a1+ a20) + (a2+ a19) +( a3 + a18) + ……+(a10 + a11)

由关系式(1)知: a1+ a20 = a2+ a19 = a3 + a18= ……=a10 + a11

∴S20 = 10 ( a1+ a20)

由a1 +a2+ a3 = - 21 ,a18 + a19 + a20 =78 ( a1+ a20) + (a2+ a19) +( a3 + a18)=57 3( a1+ a20)=57 a1+ a20 =19

于是S20 = 10×19=190

例 2,已知{ an }是等差数列,它的前100项之和=200,公差d = 2,求a1 + a3 + a5……+ a99的值。

分析:若用常规方法,可以根据条件先求出a1,∵a1 , a3 , a5, …… , a99是公差为2×2=4的等差数列,用等差数列前n项和公式可以a1 + a3 + a5……+ a99的值, 但是运算比较复杂;若利用关系式(2) ,则可以简捷地求出结果:

∵a1 +a2+ a3 + ……+ a100 =200 ,

∴(a1 + a3 + a5……+ a99) +( a2+ a4 + a6……+ a100)=200

(a1 + a3 + a5……+ a99) +[(a1 +d) +( a3 + d) +( a5 + d) +……+( a99+d)] = 200

(a1 + a3 + a5……+ a99) +[(a1 + a3 + a5 + a99)+50d ] = 200

2(a1 + a3 + a5……+ a99) +50d = 200

将d = 2 代入,就可以得到a1 + a3 + a5……+ a99 = 50

二,如果a1 ,a2, a3 ,a4 ,……an , ……是等比数列,其公比为q,则有

(3)a1 an = a2 an-1 = a3 an-2= ……

(4 ) a2 = a1 q , a4 = a3 q , …… a2n = a2n-1q ,……

利用关系式(3)、(4 )可以巧妙地解决类似下列的一系列问题:

例 3,已知{ an }是等比数列 , 且a2a9 + a4a7 = 20 , 求{ an }的前10项之积。

分析:若用常规方法,根据条件无法求出a1和公比q ,应用关系式(3)可以简捷地求出结果:

∵a2a9 + a4a7 = 20 ,a2a9 =a4a7

∴ 2 a2a9 =20 a2a9 = 10

从而a1 a2 a3 a4 ……a10 =( a1 a10)( a2 a9 )……(a5 a6)=( a1 a10)5 =105

例 4,,已知{ an }是等比数列,公比q = 2且a1 +a3+……+ a9= 100 ,求{ an }的前10项之和.

分析:若用常规方法,可以根据条件先求出a1,再用等比数列前n项和公式可以求出{ an }的前10项之和,这种方法运算比较复杂;若应用关系式(4),可以简捷地求出结果:

S10 = a1 +a2+ a3 + ……+ a10

=( a1 +a3+ a5 + ……+ a9 )+(a2 +a4+ a6+ ……+ a10)

=( a1 +a3+ a5 + ……+ a9 )+(a1q +a3 q + a5q+ ……+ a9q)

=( a1 +a3+ a5 + ……+ a9 )+q(a1 +a3 q+ a5+ ……+ a9)

=(1+q)( a1 +a3+ a5 + ……+ a9 )

=(1+2) ×100

=300

三 , 当数列{ an }既不是等差数列,也不是等比数列时,要求{ an }的通项公式,可以先证明{ an+p }( p为常数)或{an+1 - an}成等差数列或等比数列,根据成等差数列或等比数列的通项公式,先求出an+p或an+1 - an ,再通过推理求出an ,能够使运算得到简化。

例 5,在数列{ an }中,已知a1=2 ,且an+1 = an+3,求an

分析:{ an }既不是等差数列,也不是等比数列时,先证明{ an+p }( p为常数)成等差数列或等比数列。

由an+1 = an+3两边同时减去6        an+1-6 = an-3       an+1-3 = (an-6),即(an+1-6)/(an-6)=

∴{an-6}是公比q = 的等比数列,其首项=a1-6=2-6=-4

于是{an-6}的通项an-6=(-4)( )n-1

从而an=(-4)( )n-1 +6

例 6 ,在数列{ an }中,已知a1=5 ,且an+1= an+2n , 求a100

分析:{ an }既不是等差数列,也不是等比数列, 先证明{an+1 - an}成等差数列或等比数列。

由an+1= an+2n an+1 - an =2n an+1 - an =2+(n – 1)×2

∴{an+1 - an}是首项=2 ,公差 = 2的等差数列,

{an+1 - an}的前99项的和=99×2 + ×2 = 9900

即(a2 – a1)+( a3 – a2)+ ……+(a100 – a99)= 9900

a100 – a1 = 9900 , a100 = 9900 + a1

已知a1 = 5 于是a100 = 9900 + 5 = 9905

以上是根据等差数列和等比数列的项与项数之间、项与项之间存在的内在联系,对解决一些数列问题的方法的探讨,实际上,等差数列和等比数列的项与项数之间、项与项之间还存在更广泛的内在联系,有待于我们进一步探寻,通过探寻这些内在联系,可以提高解决数列问题的能力。

作者 云南省楚雄市职业高级中学数学一级教师 电话15912932906

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